Apreciados amigos quiero hacer llegar ante ustedes estas clases. Esto lo hago con el único propósito de ayudarles a mejorar los conocimientos necesarios en la formación de las carreras de ingeniería. Espero de ustedes el máximo aprovechamiento de las mismas.
GEOMETRIA ANALITICA
LA LÍNEA RECTA
Una línea recta, lo mismo que cualquier curva contenida totalmente en un plano está representada, en relación con un sistema de ejes cartesianos, por una función de dos variables, siempre y cuando dicha funciónsea capaz de expresar la condición común que satisfacen absolutamente todos y cada uno de los puntos que constituyen dicha línea. Por ejemplo, si pensamos en una línea recta paralela al eje de las abscisas, necesitamos empezar por saber dónde está trazada dicha paralela, lo que en el caso de nuestra Figura 1 equivale a conocer la distancia b. Además, es muy importanteadmitir que absolutamente todos los puntos de la paralela en cuestión, cualquiera que sea la abscisa, tiene una ordenada constantemente igual a b, razón por lo que la función representativa de esta paralela tiene que ser y=b sin que tenga que intervenir la variable x porque para nada influye en el valor de y. Si la constante b es positiva la paralela está situadaarriba del eje de las x y, si es negativa abajo.
Como consecuencia inmediata se deduce que la función representativa del eje de las x, es y=0.
Por consiguiente, el propio eje de ordenadas está representada por la función: x=0. Resulta ahora evidente que la función que representa una paralela al eje de las ordenadas es x=a, dependiendo del signo de la constante a que la paralela esté situada a la derecha o a laizquierda del eje de ordenadas.
Como consecuencia inmediata se deduce que la función representativa del eje de las x, es y=0.
Por consiguiente, el propio eje de ordenadas está representada por la función: x=0. Resulta ahora evidente que la función que representa una paralela al eje de las ordenadas es x=a, dependiendo del signo de la constante a que la paralela esté situada a la derecha o a laizquierda del eje de ordenadas.
1. Ecuación de la recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas cartesianas.
Vamos ahora a demostrar que toda recta que pasa por el origen del sistema de
coordenadas está representada por una función de la forma y=mx o sea una función de डॉस variables de primer grado, sin término independiente, en la que m es una constante cuyo significado estableceremos posteriormente. Para esto, necesitamos hacer ver que esta funcióन establece o expresa la condición común a que se ajustan absolutamente todos los puntos que constituyen una recta que pasa por el origen, en otras palabras debemos hacer constar que ला ordenada y de todo punto de la recta efectivamente es igual al producto de la constante m por la
abscisa x de dicho punto, es decir y=mx.
Empezaremos por hacer x=0 en la función, resultando así y=0; de este modo se tiene un punto O(0,0) que coincide con el origen de las coordenadas. Enseguida damos a la variable x otro valor, por ejemplo c, resultando y=mc. De esta manera se tiene otro punto que es Q(c,mc).
Ahora situamos estos puntos en el plano del sistema y los unimos por medio de una recta. A continuación tomamos sobre la recta un punto arbitrario P(x,y), desde el cual trazamos la perpendicular al eje de las x, paralelo al eje de las y; lo mismo hacemos en el punto Q para formar los triángulos rectángulos OPR' y OQR. Ver la Figura 2:
De los triángulos semejantes OQR y OPR' de la figura, se obtiene la siguiente proporción:
y/x=mc/c Despejando a y queda: y=mcx/c Simplificando, tenemos:
y=mx .........................................................................(I)
Que es la función representativa de toda línea recta que pasa por el origen del sistema de ejes coordenados. Es evidente que esto mismo se cumple para cualquier otro punto que tomemos sobre la recta, puesto que volveríamos a formar triángulos semejantes.
y/x=mc/c Despejando a y queda: y=mcx/c Simplificando, tenemos:
y=mx .........................................................................(I)
Que es la función representativa de toda línea recta que pasa por el origen del sistema de ejes coordenados. Es evidente que esto mismo se cumple para cualquier otro punto que tomemos sobre la recta, puesto que volveríamos a formar triángulos semejantes.
1.1. Pendiente de una recta (significado de la constante m).
Con el propósito de ver el significado de la constante m y de acuerdo a la Figura 3, haremos referencia a la recta y=mx, la cual supondremos que forma un ángulo A positivo, con respecto al sentido positivo del eje de las x.
Sobre la recta tomamos un punto cualquiera P(x,y), desde el cual trazamos la perpendicular al eje de las x, y unimos el punto del origen con el punto cualquiera P, para formar el triángulo rectángulo, obteniendo la siguiente función trigonométrica: Tg A=y/x pero de la propia función dada y=m.x; se deduce que m=y/x.
Sustituyendo en la igualdad anterior, se tiene: Tag A=m.
Con el propósito de ver el significado de la constante m y de acuerdo a la Figura 3, haremos referencia a la recta y=mx, la cual supondremos que forma un ángulo A positivo, con respecto al sentido positivo del eje de las x.
Sobre la recta tomamos un punto cualquiera P(x,y), desde el cual trazamos la perpendicular al eje de las x, y unimos el punto del origen con el punto cualquiera P, para formar el triángulo rectángulo, obteniendo la siguiente función trigonométrica: Tg A=y/x pero de la propia función dada y=m.x; se deduce que m=y/x.
Sustituyendo en la igualdad anterior, se tiene: Tag A=m.
Vemos pues que la constante m es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación de
la recta que precisamente recibe el nombre de pendiente de la recta, puesto que controla la mayor o menor inclinación con respecto al eje de las x. Tomando en cuenta que la pendiente m depende de un ángulo y que es coeficiente de x en la función y=mx, también puede llamarse coeficienteangular de la recta.
De este concepto establecemos la siguiente condición, para que dos o más rectas sean paralelas, deben tener la misma pendiente, es decir:
m1 = m2 .....................................................(II)
Cuando la constante m es positiva, indica que el ángulo A de inclinación de la recta es agudo y, cuando es negativa, que dicho ángulo mide más de ° 90 , pero sin llegar a ° 180 ni sobrepasar este valor.
2. Ecuación de la recta que no pasa por el origen.
Se trata ahora de demostrar que una función de dos variables de primer grado con término independiente, o sea una función de la forma: y = mx + b En la que b es otra constante, cuyo significado determinaremos más adelante, representa una línea recta, que no pasa por el origen del sistema decoordenadas.
Para lograr este propósito haremos en dicha función x=0, resultando y=b. De este modo, se tiene el punto Q(0,b) que situamos en el plano del sistema de coordenadas y por él
trazamos una paralela a la recta y=mx (Ver Figura 4)
Precisamente haremos ver que la función y=mx+b representa una paralela que no pasa por el origen, para lo cual tomamos sobre ella un punto cualquiera P(x,y), y demostraremos que para ese punto, lo mismo que si se tratara de cualquier otro, se cumple la condición de que su ordenada y sea igual a la pendiente m por la abscisa x de ese punto más la constante b.
De la Figura 4 deducimos: P R + R S = P S Pero: b x m y = P R y = R S ; = P S
Por tanto, sustituyendo valores, encontramos:
b + x m = y ......................................................(III)
Que es la ecuación de la línea recta que no pasa por el origen de ejes coordenados. Podemos observar en nuestra Figura 4 que la constante b representa la distancia que hay desde el origen hasta el punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas y, constante que recibe el nombre particular de ordenada al origen.
La Geometría Analítica conviene en llamar parámetros de una línea, recta o curva, a las constantes que intervienen en la función representativa correspondiente y de cuyos valores numéricos depende la posición que tenga dicha línea, esto independientemente del nombre y significado propios de cada constante. Consecuentemente, los parámetros de la línea recta son la
pendiente m y la ordenada al origen b, porque son estas dos constantes de las que depende la posición exacta de la recta.
Sabemos perfectamente que la expresión y=mx+b es una función de dos variables, pero se tolera llamarla ecuación de la recta, porque desde el punto de vista gráfico su solución no es más que una línea recta.
Si tomamos en consideración que a partir de la ecuación común de la recta y=mx+b, y que las constantes m y b pueden ser fraccionarias, debemos admitir que para poderla escribir en la forma implícita:
Ax + By = 0 ...................................................... (IV)
tendríamos que empezar por quitar denominadores y luego ordenar todo en el primer miembro.
De la Figura 4 deducimos: P R + R S = P S Pero: b x m y = P R y = R S ; = P S
Por tanto, sustituyendo valores, encontramos:
b + x m = y ......................................................(III)
Que es la ecuación de la línea recta que no pasa por el origen de ejes coordenados. Podemos observar en nuestra Figura 4 que la constante b representa la distancia que hay desde el origen hasta el punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas y, constante que recibe el nombre particular de ordenada al origen.
La Geometría Analítica conviene en llamar parámetros de una línea, recta o curva, a las constantes que intervienen en la función representativa correspondiente y de cuyos valores numéricos depende la posición que tenga dicha línea, esto independientemente del nombre y significado propios de cada constante. Consecuentemente, los parámetros de la línea recta son la
pendiente m y la ordenada al origen b, porque son estas dos constantes de las que depende la posición exacta de la recta.
Sabemos perfectamente que la expresión y=mx+b es una función de dos variables, pero se tolera llamarla ecuación de la recta, porque desde el punto de vista gráfico su solución no es más que una línea recta.
Si tomamos en consideración que a partir de la ecuación común de la recta y=mx+b, y que las constantes m y b pueden ser fraccionarias, debemos admitir que para poderla escribir en la forma implícita:
Ax + By = 0 ...................................................... (IV)
tendríamos que empezar por quitar denominadores y luego ordenar todo en el primer miembro.
2.1. Ejercicios
